www.xc88.com www.hg8500.com www.hg60028.com www.hg9599.com 世界杯指数
拉马努金圆周率公式的道理是什么?
 来源: 本站原创  发布时间:2019-09-04   

  6.高斯的发觉打开了通向椭圆模函数的大门。所谓模函数,就是这些函数正在某些变换(Modular group)之下连结不变。从Poisson乞降公式可知,若是令,那么,

  中对于这个等式的申明实正在太短,估量referee们看着也很抓狂。他本人的思曾经不成考,下面的谜底2/3(就篇幅而言)是Borwein兄弟给出的解答。

  的具体研究起首是由Bernard Dwork开展的,近几十年它们又成为数学好几个分支的主要研究对象。]

  没研究过,不外我估量不是完全准确的,虽然不晓得他本人怎样想的。我本科时候有次研究过一个拉马努金的公式,不外现正在忘了,结论是我给算到某个高阶后发觉是错的。还和一个做数论的教员会商了一下,他查了一下确信有个也能给阿谁公式判错。所以我估量这个公式也不是准确的。其他么我也很想晓得拉马努金本人是怎样想出来这种近似公式的。

  Remark3:这里列出Ramanujan笔记本的十个公式,每一个都对应一个类数为2的整二元二次型的判别式。

  2.Ramanujan本人的起点就是这个等式。等式左边的椭圆积分能够说吸引了十九世纪从高斯到黎曼等最出名数学家的留意,能够说,椭圆积分以及取其联系关系的-函数衍生出了一片公式之海。正在Felix Klein等人仍是学生的时候,这类函数研究的热度大约相当于今日代数几何的热度吧。

  b)没人晓得Ramanujan若何获得1103这个值。正在这里我将给出一个分歧于Borwein兄弟的新证明。

  结合此式、(3)及(12)最初一式(令),获得了[这里有一处能够解救的Gap, 请问是什么?]

  是的代数函数。所以说题从所问的Ramanujan的公式形式上就是这么来的。可是数值上是如何获得那么标致的公式呢?PART B次要论述的就是相关的计较过程。

  按照1957年Morris Newman的一个猜想,这一类模形式能够写成可表为Dedekind Eta函数乘积的模形式的线性组合。这些模形式正在处的值必然是的有理数次幂乘以某些。算出这些线性组合,代入的值,正在繁沉的计较后,确实能够获得1103。这过程也许够写一篇20页以内的Paper了。

  [2016.4.19, 2016.9.6 补注: 的式子有着对应的代数几何的注释。等式左边的广义超几何函数,是K3曲面临应的Picard-Fuchs方程的解。这一类曲面

  高斯本人是通过数值计较到小数点后11位归纳出的关系式的,计较实是令人叹为不雅止。为此高斯写下了密文“Vicimus GEGAN”,曲到1997年才确认这句密文描述的就是这个发觉。能够说证明极限相等是一道略有难度的高中标题问题,可是这个极限取椭圆积分之间的关系非天才的洞见是不克不及现身于世的。不外高斯并非第一个发觉这个关系的人,最早发觉这个关系的人是Lagrange。

  8.还有一味证明的佐料必需正在这里提及。Jacobi正在19世纪20年代的发觉不止是函数取椭圆积分之间的关系,他还把函数写成了无限级数乘积的形式,这即是出名的Jacobi triple product:

  左边是什么呢?熟悉高斯的二次型理论就会晓得,左边分母中的二次型正好是判别式为-232的二次型的所有的等价类。这个是能够取函数搭上关系的。

  4.没有确实的表白Ramanujan能从理论上猜测出的值。可是数值计较来猜测一下仍是没问题的。

  这取模曲线上cusp form亲近相关。能够用雷同于的方式建立出一族满脚前提的模函数,可是方式更精细复杂(由于37是质数)。

  [2015.12.25 注: Hardy 正在写给Ramanujan的悼词中提到了Ramanujan刚到英国时写的一些。Hardy列出了此中他认为很是主要的几篇,Ramanujan这篇文章正正在Hardy的列表之中。这篇文章虽然是正在英国颁发的,可是内容早正在Ramanujan来到英国之前就曾经完成。]

  Remark:计较相当繁沉,可是总比Borwein兄弟阿谁更容易程式化。正在这里再次向天才的Ramanujan致以我最高尚的。

  -这是全数证明中最坚苦也是最有价值的部门-残留的问题有两个:a)的值是若何计较出来的?b)反解出的数1103确实能够使等号成立吗?

  结语:Ramanujan的等式以及Guillera等人的等式归根结底是算术几何这个范畴的问题。

  7.Abel取Jacobi正在19世纪20年代关于椭圆积分的合作可谓是棋逢敌手,棋逢敌手。他们之前研究椭圆积分的只要高斯,欧拉和Legendre比力有影响。Legendre曾发觉一个极主要的关系式:

  10.证明中最难的是若何消去式子中的一项。这就要涉及到关于Modular equation的学问。